\section{连续映射}

\subsection{连续映射及其性质}

\begin{myremark}[连续性的动机是什么？]
	直观上，我们说一个映射是连续的，就是在说
	这个映射的变化是逐步的，不是骤变的，
	我们稍微变化一点自变量，因变量就要跟着稍微变化，不得跳跃，变化的{\heiti 要多小有多小}。

	什么叫要多小有多小？回顾数学分析中，我们在$\R$上对连续函数的讨论。
	我们称函数$f: D \map \R$在$x_0$连续，当且仅当$f(x)$在$x_0$的邻域（这里的邻域等价于我们前文所说的开球）有定义，
	且$\lim\limits_{x\map x_0}f(x)=f(x_0)$——换言之，任取$\varepsilon>0$，总存在$\delta >0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。
	函数$f(x)$连续，当且仅当$f(x)$在$D$上的每一点连续。

	在上述定义中，我们任取$\varepsilon$就是“要多小”的过程，总存在$\delta$就是“有多小”的展现。
	我们现在要做的，就是把上述在$\R$上的“要多小有多小”的过程，抽象到拓扑空间中。
\end{myremark}

\begin{definition}[连续映射]
	现有拓扑空间$X$，$Y$，映射$f: X \map Y$是连续的，
	当且仅当$Y$的任意开集的原像是$X$的开集。
\end{definition}

\begin{example}[$\R$中的连续映射]
	我们现在要说明的是定义2.2.1（暂称为拓扑定义）和笔者注2.2.1（暂称为分析定义）中对连续函数的描述是相同的。

	\begin{proof}
		先说明分析定义能推出拓扑定义。设开集$A\subseteq \R$，
		则任意的$x \in f\rev(A)$，$f(x) \in A$，取$\varepsilon > 0$使得$B(f(x),\varepsilon) \subseteq A$（因为$A$是开集），
		总存在$\delta_x > 0$满足，倘若$t \in B(x, \delta)$，则$|f(t)-f(x)| < \varepsilon$，也即$f(t) \in B(f(x),\varepsilon)$，
		也就是说$f(B(x,\delta_x)) \subseteq B(f(x),\varepsilon) \subseteq A$，那么可以知道
		$$
			f\rev(A) = \bigcup_{x \in f\rev(A)}B(x,\delta_x)
		$$
		是一个开集，这也就得到了拓扑定义。

		接下来说明拓扑定义能推出分析定义。对于任意的$x \in D$，任取$\varepsilon>0$，
		可以知道$B(f(x),\varepsilon)$是开集，进而$f\rev(B(f(x),\varepsilon))$是开集，记它为$O$，
		显然$x \in O$，则因为$O$是开集，总存在$\delta>0$，使得$B(x,\delta) \subseteq O$，
		进而$f(B(x,\delta)) \subseteq f(O) = B(f(x),\varepsilon)$，也就是说，
		倘若$t \in B(x,\delta) - \{x\}$（i.e. $0<|x-t| < \delta$）,$f(t) \in B(f(x),\varepsilon)$（i.e. $|f(t)-f(x)| < \varepsilon$）。
		这样我们就拿到了分析定义
	\end{proof}
\end{example}

接下来研究连续映射的若干性质。

\begin{theorem}[连续映射的复合映射仍然连续]
	现有拓扑空间$X,Y,Z$，连续映射$f:X \map Y, g: Y \map Z$，则$g \circ f: X \map Z$也连续。
\end{theorem}

\begin{proof}
	任取$Z$中开集$O$，$(g\circ f) \rev = (f\rev \circ g\rev)$，$g\rev(O)$开，进而$f\rev(g\rev(O)) = (g \circ f)\rev (O)$开。因此$g\circ f$连续。
\end{proof}

\begin{theorem}[连续映射的限制映射连续]
	设$f:X \map Y$连续，$A \subseteq X$，赋以子空间拓扑，则限制映射$f|_A:A \map Y$连续。
\end{theorem}

\begin{proof}
	任取开集$M \subseteq Y$，则$f\rev(M)$是开的，那么$f|_A\rev(M) = f\rev(M) \cap A$也是开的，进而$f|_A$连续。
\end{proof}

作为特例，取$Y = X$，$f$取恒等映射$1_X: X \map X, x \mapsto x$，则显然$1_X$连续，那么恒等映射的限制映射
$$i:A\map X \qquad x \mapsto x$$
称为$A$到$X$的含入映射，也是连续的。

\begin{theorem}[连续映射的判定/性质]
	以下命题等价：
	\begin{enumerate}
		\item {$f:X \map Y$连续；}
		\item {设$\beta$是$Y$的一组拓扑基，$\beta$中每个成员的原像都是$X$中开集；}
		\item {对于$X$中任意子集$A$，$f(\bar{A}) \subseteq \overline{f(A)}$；}
		\item {对于$Y$中任意子集$B$，$\overline{f\rev(B)} \subseteq f\rev(\bar{B})$；}
		\item {$Y$中闭集的原像为$X$中闭集。}
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	我们通过证明1. $\tc$ 2. $\tc$ 3. $\tc$ 4. $\tc$ 5. $\tc$ 1.的方式证明定理。

	1. $\tc$ 2.：太过显然，$\beta$中的每个成员显然是$Y$中开集。

	2. $\tc$ 3.：首先，$f(A) \subseteq \overline{f(A)}$；
	接下来只需证$A$的极限点都映射到$\overline{f(A)}$里，也就是说，任意的$A$的极限点$x$，都有$f(x)$要么在$f(A)$中，要么是$f(A)$的极限点。
	我们只需考虑每一个不映射到$f(A)$内部的$A$的极限点$X$，任取包含$f(x)$的开集$V$，
	根据拓扑基的概念，$V$总可以表示成
	$$V = \bigcup_{O_i \in \beta,i \in I}O_i$$
	则总存在那么一个$O_i\ni f(x)$，那么因为$x$是$A$的极限点，$f\rev(O_i)$是$X$中开集，有
	$$
		% \begin{cases}
		f\rev(O_i \cap f(A)) = f\rev(O_i) \cap f\rev(f(A))  \supseteq f\rev(O_i) \cap A \ne \varnothing
		% \end{cases}
	$$
	这说明$f\rev(O_i\cap f(A)) \ne \varnothing$，进而$O_i \cap f(A) \ne \varnothing \tc V \cap f(A) \ne \varnothing$，
	这说明$f(x)$也是$f(A)$的极限点。

	3. $\tc$ 4.：我们有$f(\bar{A}) \subseteq \overline{f(A)}$。取$A = f\rev(B)$，有
	$$
		\begin{cases}
			f(\overline{f\rev(B)}) \subseteq \overline{f(f\rev(B))} = \bar{B}  \tc   (f\rev \circ f) (\overline{f\rev(B)}) \subseteq f\rev(\bar{B})  \\

			\overline{f\rev (B)} \subseteq (f\rev \circ f) (\overline{f\rev(B)})
		\end{cases}
	$$
    于是有$\overline{f\rev(B)} \subseteq f\rev(\bar B)$。

    4. $\tc$ 5.：对于任意的$Y$中闭集$F$，显然有$f\rev(F) \subseteq \overline{f\rev(F)}$，
    由4.中结论，以及闭集的闭包是其自身，有$\overline{f\rev (F)} \subseteq f\rev(\bar{F}) = f\rev(F)$，
    综上，$f\rev(F) = \overline{f\rev(F)}$，进而$f\rev(F)$是闭集。

    5. $\tc$ 1.：任取$Y$中开集$V$，$Y-V$是闭的，那么$f\rev(Y-V)=f\rev(Y)-f\rev(V) = X - f\rev(V)$是闭的，
    所以$X - (X - f\rev(V)) = f\rev (V)$是开的，所以$f$连续。
\end{proof}

接下来，我们研究一些连续映射的例子。

\begin{example}[$[0,1)$到$C$的连续映射]
    设$C \subseteq \C$是复平面上的单位圆周（$\{z \in \C : |z|=1\}$）配备子空间拓扑，区间$[0,1)$亦赋以$\R$的子空间拓扑。
    我们给出连续映射
    $$
    f:[0,1) \map C \qquad x \mapsto e^{2\ppi \ii x} 
    $$
	我们取$C$上的开弧段作为拓扑基（也就是说，取$\beta = \{\{z \in C : \arg z \in (a,b)\}: 0 \le a < b < 2\ppi\}$），
	很容易看出来拓扑基中的元素的原像也是$[0,1)$中的开集。

	但我们需要特别指出的是，尽管实际上$f$是一个一一映射，但是$f\rev$并不连续。
	考虑$A = [0,1/2)$是$[0,1)$上的一个开集，但是$(f\rev)\rev([0,1/2)) = f([0,1/2))$并非开集。
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{imgs/2.2.1.png}
	\end{figure}
\end{example}

\subsection{同胚}

所以说，一个连续的一一映射，它的逆映射并不天然连续。
如果来回都连续的一一映射作用于两个空间，就说明两个空间可以连续形变变过去，再连续形变变回来，这个过程中保留了拓扑的性质。

\begin{definition}[同胚]
	$f:X\map Y$是一个连续的一一映射，而且它的逆映射也连续，则称$f$是同胚映射，简称同胚。
	如果两个拓扑空间$A$、$B$之间存在一个同胚映射，则称这两个拓扑空间同胚，记作$A \cong B$。
\end{definition}

我们来看一个常见而重要的同胚的例子。

\begin{example}[球极投影]
	考虑$n$维球面$S^n = \{p \in \R^{n+1} : |p|=1\} \subseteq \R^{n+1}$，在$S_n$上挖掉一点$p$得到的图形同胚于$\R^n$，也即
	$$S^n-\{p\} \cong \R^n$$
	这个点$p$具体是哪个点实际上不重要，毕竟我们总可以通过旋转这个球面把不同的$p$转到同一个位置，所以我们不妨就认为$p = (0,0,\cdots,1)$。
	具体而言，这个同胚是这样的：每一个球面上的点$d \in S^n$与$p$的连线$\overline{dp}$总会与空间$\alpha: x_{n+1} = 0$有交点，这个交点就是$d$的像$\phi(d)$。
	下面的图示是$n=2$的情况：
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5\textwidth]{imgs/2.2.2.png}
	\end{figure}
	直观上可以看出，$S^n-\{p\} \cong  \alpha \cong \R^n$。
	事实上，一旦给定自变量$d$的坐标，就可以得到用来表示$\overline{dp}$的线性方程组，联立$\alpha$得到的$\phi(d)$的坐标，因为所有方程都是线性的，所以我们总能保证$\phi(d)$各个分量的坐标应该是一次函数比一次函数（也就是$F(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$），这肯定是连续的，而且存在连续的反函数（见数学分析），这保证了$\phi$是一个同胚。
	
	另一种方法从几何上说明了$\phi$是同胚。考虑任意$\alpha$上的开集$O$，令$U = \bigcup\limits_{t \in O}\overline{pt}$，可以说明$U$是$\R^{n+1}$中的开集，
	并且$\phi\rev(O) = U \cap S^n$是一个开集，这说明$\phi$连续；我们可以用同样的方法说明$\phi\rev$也连续。所以$\phi$是同胚。

	这样的投影$\phi: d \mapsto \overline{dp}\cap\alpha$称为\textbf{球极投影}。
\end{example}

\subsection{关于圆盘的若干结果}

\begin{definition}[圆盘和边界]
	\textbf{圆盘}是同胚于平面内单位闭圆盘$D = \{x \in \R^2 : |x|\le 1\} \subseteq \R^2$的任何拓扑空间。

	$A$是圆盘，$C = \{x \in D: |x| = 1\}\subseteq D$是单位圆周，$h: A \map D$是同胚。我们称$h\rev(C)$是$A$的\textbf{边界}，记作$\partial A$。
\end{definition}

从直观上看，一个圆盘的边界应当是唯一的，不随着同胚$h$的选取的改变的。事实上确实如此。
倘若边界不唯一，考虑圆盘$A$到单位闭圆盘$D$的两个不同的同胚$g,h$，满足他们生成的边界$\partial_g A = g\rev(C) \ne \partial_h = h\rev(C)$。
进而，下述两个映射
$$
(gh\rev)|_C: C \map D 	\qquad (hh\rev)|_C: C \map D
$$
应该是不同的，并且
$$
(hh\rev)|_C(C) = 1_C(C) = C
$$
因为$\partial_gA \ne \partial_hA$，加之$g,h$是同胚，所以$(gh\rev)|_C(C) \ne (hh\rev)|_C(C) = C$。
因此，我们只需要说明，任何$D$的自同胚都将$C$映射到$C$就可以说明边界唯一。这个事实我们将在第五章给出完整的证明。

接下来给出一些关于圆盘的结果。

\begin{proposition}[边界自同胚可扩张到圆盘自同胚]
	设$A$是圆盘，任何的边界自同胚$g:\partial A\map \partial A$，都可以有$h$的一个扩张$G: A \map A$，它也是同胚，且$G|_{\partial A} = g$。
\end{proposition}

\begin{proof}
	对于任意一圆盘$A$，以及边界自同胚$g: \partial A \map \partial A$，和选定的到单位闭圆盘的同胚$h: A \map D$，
	倘若单位圆周的自同胚（比如$f = hgh\rev|_C: C \map C$）可以扩张到单位闭圆盘的自同胚$F: D \map D$，那么就取$G = h\rev Fh: A \map A$，命题就得证了。

	现有$f : C \map C$，我们可以给出$f$的一个扩张
	$$
	F: D \map D \qquad x \mapsto |x|f(x/|x|)
	$$
	这个扩张（我们描述成“幅式扩张”），可以说明，是一个自同胚。
\end{proof}

\begin{proposition}[沿边界弧相交的两个圆盘之并依旧是圆盘]
	设$A,B$是两个沿着边界弧相交的圆盘，那么$A \cup B$依旧是圆盘。
\end{proposition}

\begin{proof}
	我们这里不太过深究证明的细节，只给出证明的大致思路，具体的细节是很容易补充的。

	我们现在要做的就是建立起一个$A \cup B$打到$D$的同胚。
	考虑$D$有两个子集：$D_1 = D \cap \{(x,y) \in \R^2 : x\le 0\}$和$D_2 = D \cap \{(x,y) \in \R^2 : x\ge 0\}$。
	二者满足$D_1 \cup D_2 = D$，且$D_1 \cap D_2 = \{0\} \times [-1,1]$。
	我们令$\gamma = A \cap B$，$\alpha = \partial A - \gamma$，$\beta = \partial B - \gamma$。
	
	现在，我们把$\partial A = \alpha \cup \gamma$做一个同胚映射打到$\partial D_1$，使得$\gamma$打到$D_1 \cap D_2$，这个同胚可以扩张成一个$A$打到$D_1$的同胚。
	我们将$\gamma$打到$D_1 \cap D_2$的同胚扩张到$\gamma \cup \beta = \partial B$打到$\partial D_2$的同胚，这又能扩张到从$B$打到$D_2$的同胚。

	至此，我们有$A$到$D_1$，$B$到$D_2$两个同胚，而且$A \cap B = \gamma$在两个同胚之下的像相同，都为$D_1 \cap D_2$。
	于是我们自然就有了一个$A \cup B$打到$D_1 \cup D_2 = D$的同胚。这说明$A \cup B$也是圆盘。
\end{proof}

\begin{figure}[H]
		\centering
		\includegraphics[width=0.9\textwidth]{imgs/2.2.3.png}
\end{figure}
